面試必備之費米問題

編輯導語：在面試的時候，很多人都會遇到費米問題，那么什么是費米問題，又該如何解決呢？本文作者詳細介紹了面試中的費米問題及其解決措施，我們一起來看看吧。

最近在準備面試，之前挺怕遇到費米問題的，總覺得這類問題拿著就是一臉懵圈，但是現在涉及到這方面的面試越來越多了，所以這次簡單研究了下，發現其實還挺有意思的。

其實關于費米問題，挺多人的回答都很清晰了，這篇文章只是從我個人角度簡單說明下。

首先說結論：費米問題實際上是通過將復雜問題不斷拆分為較容易獲得數據的子問題，再通過獲得子問題的數據從而得到看似毫無頭緒的主問題的結論。

從最經典的調音師問題開始：

一、估算芝加哥有多少調音師（N）

1. 經典解法（費米當年的解法）

Key：基于供需關系做拆分，拆分邏輯如下：

PS：其實具體當時費米的預估數值和方法度娘上有好幾個版本，我這個版本來自知乎這位同學的回答：

https://www.zhihu.com/question/304174916/answer/1943302644。

但是那個工作日實際工作時間知乎答案用的是0.6*24，這個地方的數據估算略有問題，一天實際調音14.4個小時的調音師感覺和現實偏差較大，所以改成了0.8*8，考慮到調音都是在雇主家里，所以有路程時耗，乘了個0.8的系數。

解析：其實就是看總的需求量是多少，再分析對應單個供應個體產量，由此得到結論。

再分別對供需雙方進行拆解，最終得到比較容易獲得數據的子項，再對子項預估數據進行計算。

這樣拆分的鏈路不算長，每個顏色代表依次拆分，其實也就四個層級，因為這個問題本身不算個很復雜的問題，但是最終拆解的子項也有7個，你需要逐一對七個數據進行估算，再進行簡單計算就能得到這個看似摸不著頭腦的問題的答案了。

說個題外話，這個地方其實有一個很有意思的點：

從概率學角度來講，假如你每個子項預估數據的準確率為80%（哪怕最終的子項相對容易獲取數據，但80%也已經是很高的準確率了），那么最終七個數據都準確的概率是0.2，正確概率如此小的一組數據的組合結果答案居然是跟實際情況差不多，這其實是運用了平均律理論。

這個理論蠻有意思的，簡單來說就是A指標預估高了點，B指標預估低了點，最后通過一系列神奇的反應，誤差大概率會被抵消很多（當然，這是基于你預估的數據不要太離譜的情況下）。

一般來說，最終得到的答案不會有超過一個量級的誤差，感興趣的小伙伴可以自己去看看。

2. 野生解法（自己想的）

Key ：基于求解目標來源拆分，拆分邏輯如下：

解析：因為是自己靈光一閃想到的解法，所以每個指標都詳細解釋下。

其實想法很簡單，不一定看供需，只看供應方，也就是調音師從哪些渠道來，再看每個渠道的產量，最終就得到了答案。

芝加哥音樂學院數量：這個問題渠道我只拆分了一個，就是音樂學院，因為哪怕我對調音師這個行業不是很了解，但是偶爾也聽說過這個對專業的要求奇高，所以姑且認為調音師都接受過正規的音樂學院的教育，一般而言，一個城市的單個專業學院不會很多，1~5是個合適的區間，所以取個中間值3。

音樂學院每屆人數：一般來說，單個專業的人數都會比較少吧，10個太少了，100個有點多，所以根據我大學專業人數，估計了個40。

每屆調音師占比：據說調音師本身就是百里挑一，但是1%好像真的有點低，比如學鋼琴的人數若是50%，相當于100個人從音樂學院畢業，其中1個調音師要服務50人，好像略微有點忙不過來的樣子，所以估計了個2%，1個人服務25人，雖然也高，但是本身調音頻率應該不算頻繁，還能接受。

調音師平均工作年限：并不是每一屆音樂學院畢業的調音師都會一直工作，總還是會退休的，也有半路跑路的，所以本來預估的是30年，但是同時考慮到別的城市的調音師沒準兒也會跑來芝加哥（畢竟是個大城市），所以預估的工作年限調整到了35年。

最終得到了結果：84，據說當年實際結果是81，是不是這樣一看，我這個野生解法還更合理……

才怪，畢竟我上帝視角，提前已經知道答案了，所以在給預估值的時候會下意識地往準確值上靠，知道了答案再給過程大部分時候還是比較容易的。

但是一開始我預估數據的時候每屆調音師占比我考慮過1%，平均工作年限我也考慮過30年，這樣算出來的誤差其實就比較大了。

本身這類問題如果真的在面試中碰到了也是看思路而已，并不是很關注你最終給出來的結果數據。

我一直的習慣都是并不喜歡將問題太復雜化，一般而言，怎么簡單怎么來，我給的思路其實數據相對容易獲取到，但是可能確實有思路遺漏，只是剛好拼湊到了相對合理的數據，得到了一個相對準確的答案而已，但是不可否認，我這個也是一種拆分方向。

兩種解法，分別對應了完全不同的子項，其實想了想這兩種解法還挺有意思的，得到了三個結論：

（1）再宏大的事情最終都與細微的個體有關

看似很龐大的難以被撼動的問題，逐步拆分，一定會拆分到可執行的最小單元，而這個最小單元，往往是我們輕而易舉能影響到的。比如氣候問題，看似是國家層面的問題，但是最后拆解一定是每個個體，每個企業需要為此努力（好吧，其實我這篇文章是講公益的~）

（2）看似毫不相關的個體之間是有微妙的聯系的

因為每個問題解法并不是唯一的，這表明往往拆解的最細粒度的子項也會不同，但是不同拆分維度下的子項變更其實都會影響最后的結果，再繼續推一下，也會影響到別的維度的子項（因為不可能以A思路拆分的子項變更導致最終結果變了，但是以B思路拆分的子項數據仍然和原來保持一致）。

比如調音師這個問題里面的調音師每年平均工作天數和芝加哥音樂學院的數量。這樣看事物之間的關聯性真有意思，所以有時候你要找的問題的答案沒準兒來源于你未曾考慮過的領域。

（3）沒有真正簡單的解法

調音師問題我這兒展示了兩種解法，第一種看起來似乎要略微復雜點，因為需要進行的拆分層級更多，需要獲取的子項數據更多。

但是由于平均律理論，在無法準確預估的情況下，這樣的拆分思路更容易獲得與實際結果更為接近的答案。

而第二種看似簡單，層級少，預估的數據少，但是就像我上面講過的，一個數據的預估錯誤其實會導致與真實結果差異較大。

第一種解法更為穩妥，找到了受單個子項影響較小的解法，但是路徑確實更長；而第二種解法很激進，但是在確保你所獲得的數據是準確的情況下其實更為便捷，路徑更短。

如今的互聯網，在我看來更多的是在走第二種路子吧，看似簡單卻更有風險，兩種方法并無好壞之分，只要你確定自己了解到的‘子項’足夠正確。

二、拓展

看到一個類似的問題，估算中國有多少個加油站（N），提供一個我的思路&之前在知乎看到另一種解法：https://www.zhihu.com/question/304174916/answer/1943302644。

有別的想法的小伙伴可以在評論區多多交流呀（其實我更好奇調音師問題別的拆分維度）。

最后說一句，數學家真是全天底下最有意思的生物之一了！而且數學又是諸多問題解法的靈感源泉，真是一個偉大的學科！！！

 

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